Regra de Cramer

Publicado em Abril de 2025 | Autor: Equipe IngeniumTech

A Regra de Cramer é um método explícito para resolver sistemas de equações lineares com tantas equações quanto incógnitas, utilizando determinantes. Este método é particularmente útil para sistemas de pequenas dimensões e fornece uma solução direta.

Como Funciona a Regra de Cramer?

Considere um sistema linear de \( n \) equações com \( n \) incógnitas, representado na forma matricial \( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \), onde \( A \) é uma matriz quadrada de ordem \( n \), \( \mathbf{x} \) é o vetor coluna de incógnitas e \( \mathbf{b} \) é o vetor coluna de termos constantes.

\[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{bmatrix} \]

Aplicação da Regra de Cramer

Para encontrar a solução do sistema, a Regra de Cramer utiliza determinantes. A solução para cada incógnita \( x_i \) é dada por:

\[ x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)} \]

Onde \( A_i \) é a matriz obtida substituindo a \( i \)-ésima coluna de \( A \) pelo vetor \( \mathbf{b} \).

Condições de Aplicação

Determinante Não Nulo: A Regra de Cramer só pode ser aplicada se \( \det(A) \neq 0 \). Isso garante que o sistema tem uma solução única.
Igualdade de Dimensões: O sistema deve ter tantas equações quanto incógnitas (sistema quadrado).

Conclusão

A Regra de Cramer é uma técnica eficaz para resolver sistemas lineares de pequenas dimensões, oferecendo uma solução direta através do uso de determinantes. Embora não seja prática para sistemas de grande escala, é uma ferramenta valiosa para compreender a relação entre determinantes e soluções de sistemas lineares.

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