1. O que é o Produto Misto?

O produto misto envolve três vetores no espaço tridimensional (\( \mathbb{R}^3 \)) e é uma combinação de dois produtos:

• Produto vetorial entre dois vetores: resulta em um novo vetor perpendicular aos dois.
• Produto escalar desse novo vetor com o terceiro vetor.

A notação é: [a, b, c] = (a × b) · c

2. Interpretação Geométrica

O valor do produto misto representa o volume do paralelepípedo formado pelos vetores a, b e c.

• Zero: os vetores estão no mesmo plano (são coplanares).
• Diferente de zero: formam um volume real.

3. Fórmula com Determinante

Uma forma prática de calcular o produto misto é usando determinantes.

Se os vetores forem:

• a = (a₁, a₂, a₃)
• b = (b₁, b₂, b₃)
• c = (c₁, c₂, c₃)

Então, o produto misto é:

Esse valor é um número escalar e pode ser positivo, negativo ou zero.

4. Exemplo Resolvido

Seja:

• a = (1, 0, 0)
• b = (0, 1, 0)
• c = (0, 0, 1)

Vamos calcular:

Logo, [a, b, c] = 1

5. Aplicações

Em engenharia, o produto misto é utilizado para calcular volumes de estruturas ou áreas delimitadas por vetores. Na física, é aplicado para representar grandezas relacionadas ao torque, momento angular e densidade de fluxo tridimensional.

6. Curiosidades

O valor do produto misto pode ser negativo, indicando a orientação dos vetores — se estão orientados positivamente ou negativamente em relação ao sistema de coordenadas. O módulo (valor absoluto) do produto misto dá o volume do paralelepípedo formado por a, b e c.